在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求：（1）n的值；（2）系数的绝对值最大的项是第几项？该项是什么？（3）系数最大的项．

Question

在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求：
（1）n的值；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？该项是什么？
（3）系数最大的项．

Answer 1

（1）根据题意，其展开式中只有第6项的二项式系数最大，由二项式系数的性质，分析可得n是偶数，且第6项为中间项，即+1=6，解可得答案；
（2）设第k+1项系数的绝对值最大，则第k+1项的系数绝对值比第k项与第k+2项的系数绝对值都大，据此可以构造不等式组，解可得，由k的取值范围，可得答案；
（3）由（2）的结论，分析可得，第4项的系数为负，系数最大的项为第3项或第5项中的一项，计算T₃、T₅，比较可得答案．
【解析】
（1）根据题意，展开式中只有第6项的二项式系数最大，
则n是偶数，且第6项为中间项，即+1=6，
解可得n=10；
（2）设第k+1项系数的绝对值最大，
则有，即
解可得，
又由k∈N^*，则k=3，
系数绝对值对大的项是第4项，T₄=-C₁₀³2^-3=-15；
（3）第4项的系数为负，系数最大的项为第3项或第5项中的一项，
又由T₃=，T₅=，
比较可得，系数最大的是第5项，则系数最大项为T₅=．