已知（1+x+x2）（x+1x3）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=．

Question

已知（1+x+x²）（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=______．

Answer 1

设（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式的通项为T_r+1，则T_r+1=

C

r n

x^n-r•x^-3r=

C

r n

•x^n-4r，2≤n≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x²）（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x²）（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x²）（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x²）（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x²）（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x²）（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x²）（x+(1)/(x3)）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．
故答案为：5．