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设f(x)=(x-a)^n*g(x),g(x)在x=a临域内有(n-1)阶连续的到函数,证明:f(x)的n阶导数=n!*g(x)
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设f(x)=(x-a)^n*g(x),g(x)在x=a临域内有(n-1)阶连续的到函数,证明:f(x)的n阶导数=n!*g(x)
▼优质解答
答案和解析
f(x)的n阶导数=∑[(x-a)^n]的k阶导数*g(x)的(n-k)阶导数
因为在x=a临域内g(x)有(n-1)阶连续的到函数,所以f(x)的n阶导数 也只能是在x=a临域内存在.
(x-a)^n的1到n-1阶导数最后还剩(x-a)项,
x=a时,这些项=0,
(x-a)^n的n阶导数就是n!
最后f(x)的n阶导数就剩下一项不为0就是:n!*g(x)
因为在x=a临域内g(x)有(n-1)阶连续的到函数,所以f(x)的n阶导数 也只能是在x=a临域内存在.
(x-a)^n的1到n-1阶导数最后还剩(x-a)项,
x=a时,这些项=0,
(x-a)^n的n阶导数就是n!
最后f(x)的n阶导数就剩下一项不为0就是:n!*g(x)
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