求关于x的方程x[(x-1)^n-1]/(x-2)=0所有解.答案好像是x=0或x=e^(i*2kπ/n),k=1,2……n-1.此处x=e^(i*2kπ/n),k=1,2……n-1是如何得来的?

Question

求关于x的方程x[(x-1)^n -1]/(x-2)=0所有解.
答案好像是x=0或x=e^(i*2kπ/n),k=1,2……n-1.
此处x=e^(i*2kπ/n),k=1,2……n-1是如何得来的?

Answer 1

直接由分子为0,得：
x=0
或(x-1)^n-1=0
即(x-1)^n=1
对1开n次方根,得
x-1=e^(i*2kπ/n),k=0,1,2……n-1
得：x=1+e^(i*2kπ/n),k=0,1,2……n-1
由于x不能为2,（否则分母为0）,因此上式需去掉k=0时的解
故有x=1+e^(i*2kπ/n),k=1,2……n-1