早教吧作业答案频道 -->其他-->
已知f(x)、g(x)是两个实系数首项系数为1的三次多项式,方程f(x)=0,g(x)=0,f(x)=g(x)共有八个不同的实根.证明:这八个根中最大和最小的不能都是f(x)=0的根.
题目详情
已知f(x)、g(x)是两个实系数首项系数为1的三次多项式,方程f(x)=0,g(x)=0,f(x)=g(x)共有八个不同的实根.证明:这八个根中最大和最小的不能都是f(x)=0的根.
▼优质解答
答案和解析
证明:∵f(x)、g(x)是两个实系数首项系数为1的三次多项式
∴f(x)-g(x)不超过二次
又方程f(x)=0,g(x)=0,f(x)=g(x)共有八个不同的实根
∴每个根都是单根,f(x)=g(x)为二次方程,有两个单根
设a,b分别为八个根中最大和最小的根,则
f(a)=0,f(b)=0
∵g(x)=0有三个单根,且全部在区间(a,b)上
∴g(a)•g(b)<0
又f(x)=g(x)有两个单根,且全部在区间(a,b)上
∴[f(a)-g(a)]•[f(b)-g(b)]
=-g(a)•[-g(b)]
=g(a)•g(b)>0
矛盾,所以假设不成立.
故这八个根中最大和最小的不能都是f(x)=0的根
∴f(x)-g(x)不超过二次
又方程f(x)=0,g(x)=0,f(x)=g(x)共有八个不同的实根
∴每个根都是单根,f(x)=g(x)为二次方程,有两个单根
设a,b分别为八个根中最大和最小的根,则
f(a)=0,f(b)=0
∵g(x)=0有三个单根,且全部在区间(a,b)上
∴g(a)•g(b)<0
又f(x)=g(x)有两个单根,且全部在区间(a,b)上
∴[f(a)-g(a)]•[f(b)-g(b)]
=-g(a)•[-g(b)]
=g(a)•g(b)>0
矛盾,所以假设不成立.
故这八个根中最大和最小的不能都是f(x)=0的根
看了 已知f(x)、g(x)是两个...的网友还看了以下:
已知二次函数Y=F[X]的图像是开口向上的抛物线,F[-5]、F[-1]、F[4]、F[7]这四个函 2020-03-30 …
一道简单的二阶导数和一道简单的不定积分1,设f"(x)存在,证明lim(h->0)[f(x0+h) 2020-05-13 …
已知函数f(x)=2a+1/a-1/a2x,常数a>0.1.设m.n>0,证明:函数f(x)在[已 2020-05-16 …
一道数学证明题f(0)=0,f'(0)>0,f''(x)0,求证f(x)在x>0上有零点感谢晶石同 2020-05-17 …
已知函数f(x)满足:对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1已知函数f(x)满足 2020-05-17 …
高数中值定理证明题已知函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)= 2020-08-01 …
1.若集合X={x/x=2n+1,n∈Z},Y={y/y=4k±1,k∈z},试证明X=Y.2.已知 2020-10-31 …
已知函数fx=a^x(a>0,a≠1),x属于R,则x1≠x2试比较1/2(f(x1)+f(x2)) 2020-10-31 …
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:(已知函 2020-11-02 …
y=f(x)是什么意思已知二次函数y=f(x)的图像是开口向上的抛物线,f(-5)、f(-1)、f( 2020-12-08 …