已知函数f(x)=a•2x+a-12x+1．（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）在（1）的条件下，解关于x的不等式f[loga（x+1）]+f[loga（13x-5）]＞0．

Question

已知函数 f(x)=(a•2x +a-1)/(2x +1) ．
（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）在（1）的条件下，解关于x的不等式f[log _a （x+1）]+f[log _a （ (1)/(3x-5) ）]＞0．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即 a-(1)/(2-x +1) =-a+(1)/(2x +1) ，
则 2a=(1)/(2x +1) +(1)/(2-x +1) =(1)/(2x +1) +(2x)/(2x +1) =1 ，
∴ a=(1)/(2) ．
∴ f(x)=(1)/(2) -(1)/(2x +1) ；
（2）f（x）定义域为（-∞，+∞），原函数即 f(x)=(1)/(2) -(1)/(2x +1) ，易得f（x）为R上的增函数．
由f[log _a （x+1）]+f[log _a （ (1)/(3x-5) ）]＞0．
得f[log _a （x+1）]＞-f[log _a （ (1)/(3x-5) ）]=f[-log _a （ (1)/(3x-5) ）]=f（[log _a （3x-5）]，
∵f（x）为R上的增函数．
∴log _a （x+1）＞log _a （3x-5），
若a＞1，则

x+1＞3x-5

3x-5＞0

，解得 (5)/(3) ＜x＜3 ．
若0＜a＜1，则

x+1＜3x-5

x+1＞0

，解得x＞3．
综上：a＞1，不等式的解集为{x| (5)/(3) ＜x＜3 }．
当0＜a＜1，不等式的解集为{x|x＞3}．