3阶行列式的问题在求一个特征多项式里面求一个特征值时会涉及到3阶行列式怎么求这个行列式等于0的时候方面些

Question

3阶行列式的问题
在求一个特征多项式里面求一个特征值时会涉及到3阶行列式
怎么求这个行列式等于0的时候方面些

Answer 1

对于3阶方阵,可参考以下解三中的做法来求特征值.由于有举例,故此例不详算了.请谅解.解一:特征多项式f(t)=|t*E-A|=0此即得关于t的一元三次方程.求解三个t值即是.可能有重根.或用-f(t)=|A-t*E|=0 也是一样的.解二:|A+t*E|=0解此关于t的一元三次方程.求解三个t值.可能有重根.再取相反数即是所求.这样在计算是方便一点点.解三参考:以下tr表示矩阵的迹(即主对角线元素之和); A*表示伴随阵; det表示行例式的值.特征多项式f(t)=|t*E-A| 习惯上一般用λ.为了打字方便有时我用t.如果A是1阶矩阵,易见特征值就是A本身.如果A是2阶矩阵,特征多项式可以写为λλ-tr(A)λ+det(A).如果A是3阶矩阵,特征多项式可以写为λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).其中tr(A*)=各阶主子行列式之和.如果A是4阶矩阵,特征多项式可以写为λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A),其中c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.于是A=2 -1 25 -3 3-1 0 -2故A=ttt-(2-3-2)tt+(6+-2+-1)t-(2*6-5*2+-1*3)=ttt+3tt+3t+1很显然A=(t+1)^3,有三重根-1.即矩阵有三重特征值 -1用解三来做,举个例子,上面的题目未加详算,请谅解.-A=-2 1 -2-5 3 -31 0 2|tE-A|=dett-2 1 -2-5 t+3 -3 1 0 t+2=(t-2)*(t+3)(t+2)-(-5)*(t+2)+ 1*(1*(-3)-(-2)*(t+3))=ttt+3tt+3t+1=(t+1)^3故原矩阵A 有一个三重特征值 t=-1