设a1a2,…an都是正数,证明对于任意n属于正整数,都有(a1+a2+...+an)^2≤n(a1^2+a2^2+...an^2)其中1,2…n为下标,过程尽量详细

Question

设a1 a2,…an都是正数,证明对于任意n属于正整数,都有 (a1+a2+...+an)^2≤n(a1^2+a2^2+...an^2)
其中1,2…n为下标,过程尽量详细

Answer 1

构造方程：(a1^2+a2^2+...an^2)x^2-2(a1+a2+...+an)x+n=0即：(a1x-1)^2+(a2x-1)^2+…+(anx-1)^2=0可见该方程要么有相等的根x=1/a1=1/a2=…=1/an,要么无解所以其判别式△≤0即[2(a1+a2+...+an)]^2-4n(a1^2+a2^2+...an...