一道函数与不等式结合的问题f(x)=axlnx,若m>0,n>0,a>0,证明：f(m)+f(n)+a(m+n)ln2≥f(m+n)

Question

一道函数与不等式结合的问题
f(x)=axlnx,若m>0,n>0,a>0,证明：f(m)+f(n)+a(m+n)ln2≥f(m+n)

Answer 1

不等式化简得到：
g（m,n） = amln2m + anln2n - amln(m+n) - anln(m+n) >= 0
所以只要证明 g (m,n) >= 0, 即证明原不等式.
g明显是对于m,n对称的.
求g的最小值：
dg/dm = aln(2m) -aln(m+n) = 0, 得到 m=n,
当m=n, g = 0,
g'' = a/2m > 0, 所以g=0是最小值.
所以g > = 0