已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线B

Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
∴

9a+3b+c＝0

a+b+c＝0

c＝−3

，
解得

a＝−1

b＝4

c＝−3

，
∴抛物线的解析式：y=-x²+4x-3，
由y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
可知：顶点D的坐标（2，1）．

（2）存在；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则

3k+b＝0

b＝−3

，
解得

k＝1

b＝−3

，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（x，-x²+4x-3），则E（x，x-3），
∴PE=（-x²+4x-3）-（x-3）=-x²+3x=-（x-(3)/(2)）²+(9)/(4)，
∴当x=(3)/(2)时，PF有最大值为(9)/(4)．
∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为(9)/(4)．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x-1；
直线BC的解析式为：y=x-3．
∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．
∵AF∥y轴，
∴F（1，-2），
∴AF=2．
①当0≤t≤√(2)时，如答图1-1所示．
此时四边形AFF′A′为平行四边形．

设A′F′与x轴交于点K，则AK=(√(2))/(2)AA′=(√(2))/(2)t．
∴S=S_{▱AFF′A′}=AF•AK=2×(√(2))/(2)t=√(2)t；
②当√(2)＜t≤2√(2)时，如答图1-2所示．
设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，
则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．

∴S=S_{▱PC′F′A′}-S_△A′DQ=2×1-(1)/(2)（t-√(2)）²=-(1)/(2)t²+√(2)t+1；
③当2√(2)＜t≤3√(2)时，如答图1-3所示．
设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．

∵BC=3√(2)，CC′=t，
∴BC′=3√(2)-t．
∴S=S_△BC′Q=(1)/(2)（3√(2)-t）²=(1)/(2)t²-3√(2)t+9．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=

√(2)t(0≤t≤√(2))

−(1)/(2)t2+√(2)t+1(√(2)＜t≤2√(2))

(1)/(2)t2−3√(2)t+9(2√(2)＜t≤3√(2))

．