已知定义域为R的函数f（x）满足：①对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2-3．（1）求函数f（x）的解析表达式；（2）画出函数f（x）的图象；（3）解方程f（x）=2x．

Question

已知定义域为R的函数f（x）满足：①对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x²-3．
（1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）解方程f（x）=2x．

Answer 1

（1）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定义域R内是奇函数（2分）
所以f（0）=0
∵当x＞0时，f（x）=x²-3，
设x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-3，即f（x）=3-x²，
则 f(x)＝

x2−3(x＞0)

0  (x＝0)

3−x2(x＜0)

；（6分）
（2）函数f（x）的图象为：

（3）∵当x＞0时，x²-3=2x，
解得：x=3，
当x=0时，有0=2x
解得x=0
当x＜0时，3-x²=2x，
化简得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x=-3
所以方程的解集为{3，0，-3}