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已知定义域为R的函数f(x)满足:①对于任意的x∈R,f(-x)+f(x)=0;②当x>0时,f(x)=x2-3.(1)求函数f(x)的解析表达式;(2)画出函数f(x)的图象;(3)解方程f(x)=2x.
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已知定义域为R的函数f(x)满足:①对于任意的x∈R,f(-x)+f(x)=0;②当x>0时,f(x)=x2-3.
(1)求函数f(x)的解析表达式;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)解方程f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析表达式;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)解方程f(x)=2x.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵对于f(x)定义域内的任意实数x,都有f(-x)+f(x)=0,
∴f(-x)=-f(x),
故f(x)在其定义域R内是奇函数(2分)
所以f(0)=0
∵当x>0时,f(x)=x2-3,
设x<0,所以-x>0,
∴f(-x)=-f(x)=x2-3,即f(x)=3-x2,
则 f(x)=
;(6分)
(2)函数f(x)的图象为:

(3)∵当x>0时,x2-3=2x,
解得:x=3,
当x=0时,有0=2x
解得x=0
当x<0时,3-x2=2x,
化简得:(x-1)(x+2)>0,
解得:x=-3
所以方程的解集为{3,0,-3}
∴f(-x)=-f(x),
故f(x)在其定义域R内是奇函数(2分)
所以f(0)=0
∵当x>0时,f(x)=x2-3,
设x<0,所以-x>0,
∴f(-x)=-f(x)=x2-3,即f(x)=3-x2,
则 f(x)=
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(2)函数f(x)的图象为:

(3)∵当x>0时,x2-3=2x,
解得:x=3,
当x=0时,有0=2x
解得x=0
当x<0时,3-x2=2x,
化简得:(x-1)(x+2)>0,
解得:x=-3
所以方程的解集为{3,0,-3}
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