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学习了圆锥曲线及其方程后,对于一个一般的二元二次方程:(A,C,D,E,F为常数),请你写出一个它分别表示①直线;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线的必要条件.
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学习了圆锥曲线及其方程后,对于一个一般的二元二次方程:
(A,C,D,E,F为常数),请你写出一个它分别表示
①直线;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线的必要条件.____

①直线;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线的必要条件.____
▼优质解答
答案和解析
【分析】①方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示直线,必有A=C=0,D,E不全为零;或A•C<0,D,E,F全为零,利用充要条件的判定方法判定即可.
②方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,必有A=C≠0,B=0并且D2+E2-4F>0,利用充要条件的判定方法判定即可.
③方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示椭圆,必有
,利用充要条件的判定方法判定即可.
④方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示双曲线,必有A•C<0,
,利用充要条件的判定方法判定即可.
⑤方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示抛物线,必有A=0且CD≠0;或C=0且AE≠0,利用充要条件的判定方法判定即可.
②方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,必有A=C≠0,B=0并且D2+E2-4F>0,利用充要条件的判定方法判定即可.
③方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示椭圆,必有

④方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示双曲线,必有A•C<0,

⑤方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示抛物线,必有A=0且CD≠0;或C=0且AE≠0,利用充要条件的判定方法判定即可.
①方程表示直线,其二次项系数必为0或可分解成两个一次因式的积的形式,故其必要条件:A=C=0,D,E不全为零;或A•C<0,D,E,F全为零;
②方程表示圆,其二次项系数必须相等且不为0,故其必要条件:A=C,D2+E2-4AF>0;
③方程表示椭圆,其二次项系数必须同号,故必要条件:
;
④方程表示双曲线,其二次项系数必须异号,故必要条件:A•C<0,
;
⑤方程表示抛物线其二次项系数必须有一个为0,另一个不为0,故必要条件:A=0且CD≠0;或C=0且AE≠0.
②方程表示圆,其二次项系数必须相等且不为0,故其必要条件:A=C,D2+E2-4AF>0;
③方程表示椭圆,其二次项系数必须同号,故必要条件:

④方程表示双曲线,其二次项系数必须异号,故必要条件:A•C<0,

⑤方程表示抛物线其二次项系数必须有一个为0,另一个不为0,故必要条件:A=0且CD≠0;或C=0且AE≠0.
【点评】本题考查二元二次方程表示①直线;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线的条件,充要条件的判定方法.是基础题.
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