如图，空间几何体ADE-BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．（1）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（2

Question

如图，空间几何体ADE-BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．

（1）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，平面MDF将几何体ADE-BCF分成两部分，求空间几何体M-DEF与空间几何体ADM-BCF的体积之比．

Answer 1

（1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF，证明如下：（1分）
连结CE交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，
所以MN∥AC，又MN在平面MDF内，（4分）
所以AC∥平面MDF                                             （6分）
（2）将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B'CF，
三棱柱ADE-B'CF的体积为V=S_△ADE•CD=(1)/(2)×2×2×4=8（8分）
则几何体ADE-BCF的体积：
V_ADE-BCF=V三棱柱ADE-ECF-VF-BB‘C=8-(1)/(3)×((1)/(2)×2×2)×2=(20)/(3)（10分）
又三棱锥F-DEM的体积V_{三棱锥F-DEM}=(1)/(3)×((1)/(2)×2×4)×1=(4)/(3)，（11分）
∴空间几何体M-DEF与空间几何体ADM-BCF的体积之比为：(4)/(3)：（(20)/(3)-(4)/(3)）=(1)/(4)（12分）