在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q．证明：以PQ

Question

在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．

Answer 1

（Ⅰ） 设动点E的坐标为（x，y），
由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，
∴动点E的轨迹C的方程为：y²=4x；
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），
由

y2=4x

y=kx+b

，消去x得：ky²-4y+4b=0．
∵直线l与抛物线相切，∴△=16-16kb=0，即b=(1)/(k)．
∴直线l的方程为y=kx+(1)/(k)．
令x=-1，得y=-k+(1)/(k)，
∴Q（-1，-k+(1)/(k)），
设切点坐标P（x₀，y₀），则ky02-4y0+(4)/(k)=0，
解得：P（(1)/(k2)，(2)/(k)），
设M（m，0），
则

MQ

•

MP

=((1)/(k2)-m)(-1-m)+(2)/(k)(-k+(1)/(k))
=-(1)/(k2)+m-(m)/(k2)+m2+(2)/(k2)-2
=(m-1)((1)/(k2)-m-2)．
当m=1时，

MQ

•

作业帮用户 2017-05-06

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议

MP