平面几何设R=外接圆半径,r=内切圆半径欧拉公式的证明：内外心距离平方=R^2-2*R*r顺便问下：内外心联线是否在外接圆直径上是三角形的内外心

Question

平面几何
设R=外接圆半径,r=内切圆半径
欧拉公式的证明：内外心距离平方=R^2-2*R*r
顺便问下：内外心联线是否在外接圆直径上
是三角形的内外心

Answer 1

设三角形的外心为O,内心为I,外接圆半径为R,内切圆半径为r,请教欧拉公式OI^2=R(R-2r)的证明方法.
证明 设S,p是三角形ABC的面积与半周长,a,b,c是三角形ABC的三边长.根据三角形己知恒等式:
AI=√[bc(p-a)/p],AO=R,∠IAO=｜B-C｜/2,abc=4R*S=4R*p*r
cos[(B-C)/2]=(b+c)*√[(p-b)*(p-c)/(a^2*bc)]
在三角形AIO中,据余弦定理得:
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-2R*√[bc(p-a)/p]*cos[(B-C)/2]
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-2R*S(b+c)/(p*a)
IO^2=R^2+bc(p-a)/p-bc*(b+c)/(2p)
IO^2=R^2-abc/(2p)=R^2-2Rr=R*(R-2r)
证毕.
通过外圆心 当然在外圆的直径上