求微分方程tds-sdt-√(t^2+s^2)dt=0的解

Question

求微分方程tds-sdt-√(t^2+s^2)dt=0的解

Answer 1

我找到一个通解是(c^2)(t^2)-2cs-1=0,其中c是任意常数.这是一组抛物线.另外s=t=0和(t=0,s>0)也是解.
为了说明是怎么找到这个解的,首先画一下相图.看到ds/dt=(s+r)/t,其中r=sqrt(s^2+t^2),然后可以看出来,s是t的偶函数,而且顺便观察到（当然这个观察似乎没用）每个不过原点、不过s轴正半轴的解都要向下绕过原点再上来.既然s是t的偶函数,就可以让u=t^2.
这样计算得到2uds-sdu=sqrt(u+s^2)du.或者
ds/du = (s+sqrt(u+s^2)) / (2u),
为了画一下相图,考虑ds/du=k是个常数的点(u,s)的轨迹.也就是,解
(s+sqrt(u+s^2)) / (2u) = k,
解得(u不为0) (4k^2)u-4ks=1,
它竟然恰好就是一条以k为斜率的直线!
一般来讲,相图上ds/du固定为k的点的轨迹不一定是直线；就算是直线,这条直线本身的斜率很可能不是k（在这种情况下,每条穿过这条直线的解曲线都和这条直线呈固定的夹角）.但是现在,这条直线的斜率恰好就是k!这说明,这条直线本身（或者它的一段）就是一条解曲线!
容易验证,对任何k>0（为什么不是对所有非零的k都可以?请自己验证一下,注意开根号的时候的正负号的选取,或者说二次方程的两个根中到底选哪个根.在k>0的情形下,解关于k的二次方程,为了选那个正的根,才确保了下下述的曲线确实是解）,(4k^2)u-4ks=1确实是方程
ds/du = (s+sqrt(u+s^2)) / (2u)
的解.
代回t,就是(4k^2)（t^2)-4ks=1,或者（如果写成c=2k）
(c^2)(t^2)-2cs-1=0,其中c>0是常数.
容易验证它是解.
这种以一族二次函数为解的方程也许（或者说,很可能）有更好、更简洁的解法.我只是说一下我的想法.