一个简单多变函数的积分证明..f(x)=∫h(x,t)dt=h(x,g(x))g(x)+∫hx(x,t)dt这个怎么证明?其中是积分范围从a到bhx(x,t)是把t当成常数对x的微分.不好意思.第2行应该是f'(x)=h(x,g(x))g(x)+∫hx(x,t)dt问一下这

Question

一个简单多变函数的积分证明..
f(x)=∫ h(x,t) dt
=h(x,g(x))g(x)+∫ hx(x,t)dt
这个怎么证明?其中
是积分范围从a到b
hx(x,t)是把t当成常数对x的微分.
不好意思.第2行应该是f'(x)=h(x,g(x))g(x)+∫ hx(x,t)dt
问一下这个是微分是怎么来的.

Answer 1

f(x+dx)=∫ h(x+dx,t) dt
f(x)=∫ h(x,t) dt
f'(x)dx=∫ h(x+dx,t) dt -∫ h(x,t) dt;
=∫ h(x+dx,t) dt -∫ h(x,t) dt
=∫ h(x+dx,t) dt -∫ h(x,t) dt+∫ h(x+dx,t) dt
=dx∫ hx(x,t)dt +∫ [h(x,t)+hx(x,t)dx] dt
=dx∫ hx(x,t)dt +g'(x)dx [h(x,g(x))+hx(x,g(t))dx] dt;(去高阶小量）
=dx∫ hx(x,t)dt +g'(x)dx h(x,g(x))
f'(x)=h(x,g(x))g'(x)+∫ hx(x,t)dt ;
那里应该是g'(x),你可能写错了