设{W（t),t>=0}是参数为d的平方的（打不出来那个方差的符号,W(t)-aW(t-h)t>=oh>0是常数,求：X(t)的意味概率密度分布函数X（t)服从N(0,d平方（a平方（t-h)-2a(t-h)+t)）为什么呢这里面涉及到一个问题,

Question

设{W（t),t>=0}是参数为d的平方的（打不出来那个方差的符号,W(t)-aW(t-h) t>=o h>0是常数,求：
X(t)的意味概率密度分布函数
X（t)服从N(0,d平方（a平方（t-h)-2a(t-h)+t)） 为什么呢
这里面涉及到一个问题,正态分布的可加性是一定要两者独立呢,这道题显然不独立,那么如何判断这个是正态分布的,又怎么计算方差.
先谢啦.会的写下过程啦.

Answer 1

维纳过程是独立增量过程.知道了这一点,以下是计算问题.
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{W(t),t≥0},σ²t,是一个维纳过程.X(t)=W(t)-aW(t-h),t≥0,h>0 是常数.求：X(t)的一维概率密度分布函数.
答：X(t):N(0,σ²(a²(t-h)-2a(t-h)+t)
证明:E{X(t)}=0 很显然.免述.
DX(t) = E{[W(t)-aW(t-h)]²} = E{W²(t)-2aW(t)W(t-h)+a²W²(t-h)]}
= E{W²(t)}-2aE{W(t)W(t-h)}+a²E{W²(t-h)}
= σ²t-2aE{W(t)W(t-h)}+a²σ²(t-h)
= σ²t-2aE{[W(t)-W(t-h)+W(t-h)]W(t-h)}+a²σ²(t-h)
= σ²t-2aE{[W(t)-W(t-h)]W(t-h)}+ E{W(t-h)W(t-h)}+a²σ²(t-h)
= σ²t-2a(0+E{W²(t-h)})+a²σ²(t-h)
= σ²t-2aσ²(t-h)+a²σ²(t-h)
= σ²[a²(t-h)-2a(t-h)+t]
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"正态分布的可加性是一定要两者独立呢"
----- 不要.所以X(t)是正态分布的.见：
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难得见到的好题!