求ln(lnx)的不定积分

Question

求ln(lnx)的不定积分

Answer 1

令 t =ln x,
则 x =e^t,
dx = (e^t) dt.
所以 ∫ ln (ln x) dx = ∫ (e^t) (ln t) dt
= ∫ (ln t) d(e^t)
= (e^t) (ln t) -∫ (e^t) d(ln t)
= (e^t) (ln t) -∫ [ (e^t)/t ] dt
= (e^t) (ln t) -∫ d(e^t) /t
= (e^t) (ln t) -∫ dx /(ln x).
又因为 ∫ dx /(ln x) 是超越积分,
所以 ∫ ln (ln x) dx 是超越积分.
即 ∫ ln (ln x) dx 不能用初等函数表示.
= = = = = = = = =
超越积分.
见第6条,n=0时,即 ∫ dx /(ln x).