分部积分法求解∫x^3(lnx)dx上面少了点，补充下：∫x^3(lnx)^2dx

Question

分部积分法求解
∫x^3(lnx)dx
上面少了点，补充下：∫x^3(lnx)^2dx

Answer 1

1.∫x^3(lnx)^2dx这是一个求幂函数x^3与对数函数(lnx)^2的乘积的不定积分,必须先将幂函数x^3凑微分,即将x^3移到微分号d后面,即x^3dx=d[(1/4)x^4],这里原式=∫(lnx)^2d[(1/4)x^4],
接着用公式∫udv=uv-∫vd u
于是,原式=(1/4)x^4(lnx)^2-∫(1/4)x^4d[lnx)^2]
=(1/4)x^4(lnx)^2-(1/4)∫x^4*2(lnx)*(1/x)dx
=(1/4)x^4(lnx)^2-(1/2)∫x^3*(lnx)dx
2.将∫x^3*(lnx)dx再用一次分部积分公式,即∫x^3*(lnx)dx=∫(lnx)d[(1/4)x^4]=[(1/4)x^4](lnx)-(1/4)∫x^4*(1/x)dx=[(1/4)x^4](lnx)-(1/4)∫x^3dx=[(1/4)x^4](lnx)-(1/16)x^4+C
3.将上述结果代回第一部分中,原式=(1/4)x^4(lnx)^2-(1/2）[(1/4)x^4](lnx)-(1/16)x^4]+C
=(1/4)x^4(lnx)^2-(1/8）[x^4](lnx)-(1/128)x^4]+C