（2013•韶关一模）已知函数f（x）=|x|lnx2．（1）判断f（x）奇偶性，并求出函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）-kx+1有零点，求实数k的取值范围．

Question

（2013•韶关一模）已知函数f（x）=|x|lnx²．
（1）判断f（x）奇偶性，并求出函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-kx+1有零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）定义域为{x|x≠0}，在数轴上关于原点对称，
且f（-x）=|-x|ln（-x）²=|x|lnx²=f（x），所以f（x）是偶函数．
当x＞0时，f（x）=2xlnx，f′（x）=2（1+lnx）．
由 f′（x）＞0，1+lnx＞0，解得：x＞(1)/(e)，所以f（x）在((1)/(e)，+∞)是增函数；
由 f′（x）＜0，1+lnx＜0，解得：0＜x＜(1)/(e)．所以f（x）在(0，(1)/(e))是减函数．
因为f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，
所以，当x＜0时，f（x）在(−∞，−(1)/(e))是减函数，在(−(1)/(e)，0)是增函数．
所以，f（x）的单调增区间是((1)/(e)，+∞)，(−(1)/(e)，0)；单调减区间是(0，(1)/(e))，(−∞，−(1)/(e))，
（2）因为g（x）=f（x）-kx+1=|x|lnx²-kx+1．
由g（x）=0，得|x|•lnx²-kx+1=0，k＝(|x|•lnx2)/(x)+(1)/(x)．
令h（x）=(|x|•lnx2)/(x)+(1)/(x)，
当x＞0时，h′(x)＝(2x−1)/(x2)．
当x＞(1)/(2)，h′（x）＞0，h（x）在((1)/(2)，+∞)是增函数；
当0＜x＜(1)/(2)，h′（x）＜0，h（x）在(0，(1)/(2))是减函数．
所以，当x＞0时，h（x）极小值是h((1)/(2))＝2−2ln2．
因为h（x）是奇函数，所以，当x＜0时，h（x）极大值是h(−(1)/(2))＝2ln2−2，
所以 h（x）∈[2-2ln2，+∞）∪（-∞，2ln2-2]，
即k∈[2-2ln2，+∞）∪（-∞，2ln2-2]，函数g（x）有零点．