设函数f(x)在-2,2上二阶可导,且f(x)的绝对值小于等于1,又f(x)^2+f'(x)^2=4,求证在（-2,2)内至少存在一点u,使得f(u)+f''(u)=0

Question

设函数f(x)在【-2,2】上二阶可导,且f(x)的绝对值小于等于1,又f(x)^2+f'(x)^2=4,求证在（-2,2)内至少存在
一点u,使得f(u)+f''(u)=0

Answer 1

将f(x)^2+f'(x)^2=4对x求导得
2f(x)f'(x)+2f'(x)f''(x)=0
2f'(x)(f(x)+f''(x))=0
又函数f(x)在【-2,2】上二阶可导,且f(x)的绝对值小于等于1
则f'(x)在【-2,2】上必有一点u使得f'(x)不为0.
所以f(u)+f''(u)=0.