函数f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,f'(a)*f'(b)>0,求证它在（a,b）内至少有一个零点

Question

函数f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,f '(a)*f '(b)>0,求证它在（a,b）内至少有一个零点

Answer 1

f'(a)*f '(b)>0 , 不妨设 f '(a) > 0, f '(b) > 0
f '(a) > 0, 且 f(a)=0,f+ '(a) = lim(x->a+) f(x) / (x-a) > 0
于是在 x=a 的右侧邻域内,f(x) > 0 ( 极限的同号性）
f '(b) > 0, 且 f(b)=0,f- '(b) = lim(x->b-) f(x) / (x-b) > 0
于是在 x=b 的左侧邻域内,f(x) < 0 ( 极限的同号性）
再利用闭区间上连续函数的介值定理, 即可.