；设W1和W2是V的子空间,且W=W1+W2,互证明以下等价命题1.W1交W2={0}2.W1+W2中任意一个向量的表示是唯一3.W1的基+W2的基+W的基4.W1的维数+W2的维数=W的维数

Question

；设W1和W2是V的子空间,且W=W1+W2,互证明以下等价命题 1.W1交W2={0} 2.W1+W2中任意一个向量的表示是唯一
3.W1的基+W2的基+W的基
4.W1的维数+W2的维数=W的维数

Answer 1

1推2：若a=a1+b1=a2+b2有两种表示方法,其中a1,a2位于W1,b1,b2位于W2,则
a1-a2=b2-b1,注意到a1-a2位于W1,b2-b1位于W2,因此这两个向量同时位于W1和W2,于是由1知道a1-a2=0,b2-b1=0.故表示法唯一.
2推3:a1,.,ar；b1,...,bs分别是W1,W2的基,下证这些向量组成W1+W2的基.
只需证明线性无关.设k1a1+...+krar+t1b1+..+tsbs=0=0a1+...+0ar+0b1+...0bs,由于表示法唯一,于是必有k1=...=kr=b1=...=bs=0,故无关.
3推4：显然.
4推1：由等式dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)+dim（W1交W2),知道
dim(W1交W2)=0,故得结果.