复数z，w满足zw+2iz-2iw+1=0，|z|=3，证明：|w-4i|是常数并求出这个常数．

Question

复数z，w满足zw+2iz-2iw+1=0，|z|=√(3)，证明：|w-4i|是常数并求出这个常数．

Answer 1

由已知得z=(2iw-1)/(w+2i)．又∵|z|=√(3)，
∴|(2iw-1)/(w+2i)|=√(3)．
∴|2iw-1|²=3|w+2i|²．
∴（2iw-1）（-2i

.

w

-1）=3（z₂+2i）（

.

w

-2i）．
整理得：w

.

w

+4iw-4i

.

w

-11=0．
即（w-4i）（

.

w

+4i）=27．
∴|w-4i|²=27，
即|w-4i|=3√(3)．
∴：|w-4i|是常数并，这个常数存在常数k=3√(3)．