设ξ1，ξ2，ξ3是n次齐次线性方程组Ax=0的三个不同的解，给出四个命题：①如果ξ1，ξ2，ξ3与Ax=0的一个基础解系等价，则ξ1，ξ2，ξ3也是Ax=0的基础解系；②如果ξ1，ξ2，ξ3是Ax=0的基础解系

Question

设ξ₁，ξ₂，ξ₃是n次齐次线性方程组Ax=0的三个不同的解，给出四个命题：
①如果ξ₁，ξ₂，ξ₃与Ax=0的一个基础解系等价，则ξ₁，ξ₂，ξ₃也是Ax=0的基础解系；
②如果ξ₁，ξ₂，ξ₃是Ax=0的基础解系，则Ax=0的每个解都可以用ξ₁，ξ₂，ξ₃线性表示，并且表示式唯一；
③如果Ax=0的每个解都可由ξ₁，ξ₂，ξ₃线性表示，并且表示唯一，则ξ₁，ξ₂，ξ₃是Ax=0的一个基础解系；
④若n-r（A）=3，则ξ₁，ξ₂，ξ₃是基础解系．
其中正确的为（　　）

A．①②
B．①④
C．②③
D．③④

Answer 1

对于命题①：因为ξ₁，ξ₂，ξ₃与Ax=0的一个基础解系等价，
所以r（ξ₁，ξ₂，ξ₃）=n-r（A），但得不出ξ₁，ξ₂，ξ₃也是Ax=0的基础解系，因为基础解系的一个前提条件是线性无关，然而，根据题意，并不能保证ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，
所以①不正确．
对于命题②：如果ξ₁，ξ₂，ξ₃是AX=0的基础解系，
则由齐次方程组的通解表达式可知：Ax=0的每个解都可以用ξ₁，ξ₂，ξ₃线性表示，并且表示式唯一，
所以②正确．
对于命题③：如果Ax=0的每个解都可由ξ₁，ξ₂，ξ₃线性表示，并且表示唯一，
则ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，且r（A）=n-3，
又因为ξ₁，ξ₂，ξ₃是Ax=0的解，
所以ξ₁，ξ₂，ξ₃是Ax=0的一个基础解系，
故③正确．
对于命题④：若n-r（A）=3，则Ax=0的基础解系是3个线性无关的解向量；
在已知条件下，不能保证ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，
故④不正确．
综上可得：正确的选项为②和③，
故选：C．