（2012•洛阳模拟）如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|＝72，|BC|＝2，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E：（x-1）2+y2=2相交于M、N两点

Question

（2012•洛阳模拟）如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|＝(7)/(2)，|BC|＝2，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点A₁作直线l与圆E：（x-1）²+y²=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵|AB|＝|AC|＝(7)/(2)，|BC|＝2
∴|BO|=|OC|=1，|OA|＝√(|AC|2−|OC|2)＝√((49)/(4)−1)＝(3√(5))/(2)…（2分）
∴B(−1，0)，C(1，0)，A(0，(3√(5))/(2))
∴P((1)/(2)，(3√(5))/(4))…（4分）
依椭圆的定义有：2a＝|PB|+|PC|＝√(((1)/(2)+1)2+((3√(5))/(4)−0)2)+√(((1)/(2)−1)2+((3√(5))/(4)−0)2)=(9)/(4)+(7)/(4)＝4
∴a=2，…（6分）
又c=1，∴b²=a²-c²=3…（7分）
∴椭圆的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1…（8分）
（2）椭圆的右顶点A₁（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径r＝√(2)．
假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，则∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离d＝(√(2))/(2)r＝1…（10分）
当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，此时圆心E（1，0）到直线l的距离d=1（符合）…（11分）
当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，
∴圆心E（1，0）到直线l的距离d＝(|k|)/(√(k2+1))＝1，无解…（13分）
综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，此时l方程为x=2…（14分）．