如图，过抛物线C：x2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点Q是P关于原点的对称．（1）求证：x1x2=-4m；（2）设P分有向线段AB所成的比为λ，

Question

如图，过抛物线C：x²=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，点Q是P关于原点的对称．
（1）求证：x₁x₂=-4m；
（2）设P分有向线段

AB

所成的比为λ，若

QP

⊥(

QA

−μ

QB

)，求证：λ=μ．

Answer 1

证明：（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立

y＝kx+m

x2＝4y

得x²-4kx-4m=0，
∴x₁x₂=-4m．
（2）由P分有向线段

AB

所成的比为λ得(x1)/(x2)＝−λ，
∵

QP

=（0，2m），

QA

＝(x1，y1+m)，

QB

＝(x2，y2+m)，
∴

QA

−μ

作业帮用户 2016-11-29

问题解析

（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可得出；
（2）由P分有向线段

AB

所成的比为λ得(x1)/(x2)＝−λ，利用

QP

⊥(

QA

−μ

QB

)，可得

QP

•(

QA

−μ

QB

)＝0，即可得出．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的应用．

考点点评：

本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．

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