一道参数方程题已知椭圆x的二次方∕a的二次方+y的二次方∕b的二次方=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与x轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心.求证：|OP|•|OQ|为定值.

Question

一道参数方程题
已知椭圆x的二次方∕a的二次方+y的二次方∕b的二次方=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与x轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心.求证：|OP|•|OQ|为定值.

Answer 1

不妨设a>b
M(acost,bsint)
B1(0,b).B2(0,-b)
MB1:y-b=(bsint-b)x/(acost),--> P(acost/(1-sint),0)
MB2:y+b=(bsint+b)x/acost)--> Q(acost/(1+sint),0)
|OP|•|OQ|=|(acost)/(1-sint)*(acost)/(1+sint)|
=a^2(cost)^2/[1-(sint)^2]
=a^2
所以得证.