选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，π3)，半径r=1，P在圆C上运动．（I）求圆C的极坐标方程；（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以

Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，(π)/(3))，半径r=1，P在圆C上运动．
（I）求圆C的极坐标方程；
（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

（Ⅰ）设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得12＝ρ2+22−2•2ρcos(θ−(π)/(3))
所以圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−(π)/(3))+3＝0…（5分）
（Ⅱ）圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−(π)/(3))+3＝0可化成直角坐标方程为：
(x−1)2+(y−√(3))2＝(1)/(4)
设Q（x，y）则P（2x，2y），P在圆上，
∴(2x−1)2+(2y−√(3))2＝(1)/(4)，
则Q的直角坐标方程为(x−(1)/(2))2+(y−(√(3))/(2))2＝(1)/(4)…（10分）