选修4-4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝22sin(θ+π4)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0

Question

选修4-4：极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ＝2√(2)sin(θ+(π)/(4))，曲线C₂的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ＝φ，θ＝φ+(π)/(4)，θ＝φ−(π)/(4)，θ＝(π)/(2)+φ与曲线C₁分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲线C₁关于曲线C₂对称，求a的值，并把曲线C₁和C₂化成直角坐标方程；
（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

Answer 1

（Ⅰ）C₁：即 ρ²=2√(2)ρ（(√(2))/(2)sinθ+(√(2))/(2)cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，
化为直角坐标方程为 （x-1）²+（y-1）²=2．
把C₂的方程化为直角坐标方程为 y=a，因为曲线C₁关于曲线C₂对称，故直线y=a经过圆心（1，1），
解得a=1，故C₂的直角坐标方程为 y=1．
（Ⅱ）由题意可得，|OA|＝2√(2)sin(φ+(π)/(4))； |OB|＝2√(2)sin(φ+(π)/(2))＝2√(2)cosφ； |OC|＝2√(2)sinφ；|OD|＝2√(2)sin(φ+(3π)/(4))=2√(2)cos（(π)/(4)+φ），
∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+(π)/(4)）sinφ+8cos（(π)/(4)+φ）cosφ=8cos[（(π)/(4)+φ）-φ]=8×(√(2))/(2)=4√(2)．