（2012•黄州区模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1-AD-C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC

Question

（2012•黄州区模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．
由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线，
所以 A₁B∥OD，
因为 OD⊂平面ADC₁，A₁B⊄平面ADC₁，
所以 A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁两两垂直．
如图建立空间直角坐标系B-xyz．设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．
所以 

AD

＝(1，−2，0)，

AC1

＝(2，−2，1)
设平面ADC₁的法向量为

n

=（x，y，z），则有√(n•AD＝0n•作业帮用户2017-09-17问题解析（Ⅰ）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明 A1B∥OD即可；（Ⅱ）可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量，利用向量数量积可求二面角C1-AD-C的余弦值；（Ⅲ）假设存在满足条件的点E，根据AE与DC1成60°角，利用向量的数量积，可得结论．名师点评本题考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．考点点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查存在性问题的探究，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量的方法解决面面角、线线角．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)