如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁．

（Ⅰ）证明：AB=AC；
（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°，求B₁C与平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

如图
（I）连接BE，∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴∠B₁BC=90°，
∵E为B₁C的中点，∴BE=EC．
又DE⊥平面BCC₁，
∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，
∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．
（II）求B₁C与平面BCD所成的线面角，
只需求点B₁到面BDC的距离即可．
作AG⊥BD于G，连GC，则GC⊥BD，
∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，∠AGC=60°
不妨设AC＝2√(3)，则AG=2，GC=4
在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得AD＝√(6)
设点B₁到面BDC的距离为h，B₁C与平面BCD所成的角为α．
利用(1)/(3)S△B1BC•DE＝(1)/(3)S△BCD•h，
可求得h=2√(3)，又可求得B1C＝4√(3)sinα＝(h)/(B1C)＝(1)/(2)，∴α=30°．
即B₁C与平面BCD所成的角为30°．