过原点的直线交双曲线x2-y2=42于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角，则折后线段PQ的长度的最小值等于．

Question

过原点的直线交双曲线x²-y²=4√(2)于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角，则折后线段PQ的长度的最小值等于______．

Answer 1

∵双曲线x²-y²=4√(2)是等轴双曲线，以直线y=±x为渐近线
∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角，可得双曲线y=(m)/(x)的图象
∵双曲线x²-y²=4√(2)的顶点（

4

32

，0），逆时针方向旋转45°
变为点（

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8

，

4

8

）
∴点（

4

8

，

4

8

）在y=(m)/(x)的图象上，可得m=

4

8

•

4

8

=2√(2)，
即双曲线按逆时针方向旋转45°角，得到双曲线y=

2

作业帮用户 2017-11-08

问题解析

将双曲线按逆时针方向旋转45°角，可得双曲线y=(2√(2))/(x)的图象．问题转化为：过原点的直线交双曲线y=(2√(2))/(x)于P、Q两点将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段PQ的长度的最小值．设P（t，(2√(2))/(t)），其中t＞0，作PM⊥y轴于M，连结MQ．利用两点间的距离公式、面面垂直的性质和勾股定理，算出|PQ|²=2t²+(32)/(t2)，最后利用基本不等式加以计算，即可求出折后线段PQ的长度的最小值．

名师点评

本题考点：

点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题给出平面图形的折叠，求折后P、Q两点间的最短距离．着重考查了两点间的距离公式、面面垂直的性质、勾股定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．同时考查了逻辑推理能力和运算能力，考查了转化归和数形结合的数学思想的应用等知识，是一道好题．

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