已知直二面角α-CD-β，A∈α，B∈β．AB长为2l，AB与α成45°角，与β成30°角，A、B在二面角棱上的射影分别为C、D．（1）求异面直线AD和BC所成的角的余弦值；（2）求面ABC与面ABD所成二面角的余

Question

已知直二面角α-CD-β，A∈α，B∈β．AB长为2l，AB与α成45°角，与β成30°角，A、B在二面角棱上的射影分别为C、D．
（1）求异面直线AD和BC所成的角的余弦值；
（2）求面ABC与面ABD所成二面角的余弦值．

Answer 1

由于二面角α-CD-β 是直二面角，且BD⊥α
所以BD⊥α，AB与α所成的角即为∠BAD，
同理AB与β所成的角即为∠ABC．即∠BAD=45°，∠BAD=30°．又△ABC和△ABD都是直角三角形AB=2l，则AC＝l，BD＝AD＝√(2)l，CD＝l．
（1）以C为原点AA'方向为x轴，CD为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系．

不妨令l=1则 C(0，0，0)，B(√(2)，1，0)，A（0，0，1），D（0，1，0）
于是

CB

＝(√(2)，1，0)，

AD

＝(0，1，−1)，
∴cos＜

AD

，

CB

＞=

AD

•

作业帮用户 2017-10-23

问题解析

（1）以C为原点AA'方向为x轴，CD为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系，利用

CB，

AD

夹角求出异面直线AD和BC所成的角的余弦值
（2）在面BCD内作DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，连接DF．可以证明∠DFE为面ABC与面ABD所成的角的平面角，在△DFE中求解即可．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．

考点点评：

本题考查异面直线夹角，二面角大小求解，考查考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．

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