已知a,b,c是一个三角形的三边,试证明a的4次方+b的4次方+c的4次方-2a的2次方b的2次方……已知a,b,c是一个三角形的三边,试证明a的4次方+b的4次方+c的4次方-2a的2次方b的2次方-2b的2次方c的2次方-2a

Question

已知a,b,c是一个三角形的三边,试证明a的4次方 +b的4次方+c的4次方-2a的2次方b的2次方……
已知a,b,c是一个三角形的三边,试证明a的4次方 +b的4次方+c的4次方-2a的2次方b的2次方-2b的2次方c的2次方-2a的2次方c的2次方的值恒为负数

Answer 1

a^4＋b^4＋c^4－2a^2b^2－2b^2c^2－2c^2a^2
＝a^4＋b^4－2a^2b^2－2b^2c^2＋2c^2a^2＋c^4－4c^2a^2
＝(a^4＋b^4－2a^2b^2)＋2c^2(a^2－b^2)＋c^4－4c^2a^2
＝(a^2－b^2)^2＋2c^2(a^2－b^2)＋c^4－4c^2a^2
＝(a^2－b^2＋c^2)^2－4c^2a^2
＝(a^2－b^2＋c^2)^2－(2ca)^2
＝(a^2－b^2＋c^2＋2ca)(a^2－b^2＋c^2－2ca)
＝[(a＋c)^2－b^2][(a－c)^2－b^2]
＝(a＋c＋b)(a＋c－b)(a－c＋b)(a－c－b)
显然,a＋c＋b＞0,a＋c－b＞0,a－c＋b＞0,a－c－b＜0
故原式的值一定小于0