如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，OF⊥AC于O，交AB于E，交CB的延长线于F，求证：OB是OE与OF的比例中项．

Question

如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，OF⊥AC于O，交AB于E，交CB的延长线于F，求证：OB是OE与OF的比例中项．

Answer 1

∵ABCD为矩形，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵OF⊥AC，AB⊥FC，
∴∠F+∠FEB=∠AEO+∠EAO=90°．
∵∠FEB=∠AEO，
∴∠F=∠BAO=∠OBE．
∵∠FOB=∠BOF，
∴△OBE∽△OFB，
∴(OB)/(OE)=(OF)/(OB)，
∴OB²=OE•OF．
即OB是OE，OF的比例中项．