已知椭圆的两个焦点F1(0.1),F2(0.-1),且a²/c=4,A1,A2分别是椭圆的上下两个顶点1.求椭圆的方程2.设以原点为顶点,A1为焦点的抛物线为C,若过点F1的直线与C相交于M,N两点,求线段MN的中点的轨迹方程

Question

已知椭圆的两个焦点F1(0.1),F2(0.-1),且a²/c=4,A1,A2分别是椭圆的上下两个顶点
1.求椭圆的方程
2.设以原点为顶点,A1为焦点的抛物线为C,若过点F1的直线与C相交于M,N两点,求线段MN的中点的轨迹方程

Answer 1

（1）两个焦点F1(0.1),F2(0.-1),
∴ c=1,且焦点在y轴上
∵ a²/c=4,
∴ a²=4,∴ b²=a²-c²=3
∴ 椭圆方程为y²/4+y²/3=1
（2）上顶点A1(0,2)
C是以原点为顶点,A1为焦点的抛物线,
∴C的方程为x²=8y
F1(0,1)
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点P(x,y)
则 x1²=8y1 ①
x2²=8y2 ②
①-②
∴ (x1-x2)(x1+x2)=8(y1-y2)
∴ K(MN)=(y2-y1)/(x2-x1)=(x1+x2)/8=2x/8=x/4
又K(MN)=K(PF1)=(y-1)/x
∴ x/4=(y-1)/x
化简得 x²=4(y-1)
即 线段MN的中点的轨迹方程 x²=4(y-1)