已知x轴上有一列点P1，P2P3，…，Pn，…，当n≥2时，点Pn是把线段Pn-1Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，P3P4，…，PnPn+1的长度分别为a1，a2，a3，…，an，其中a1=1．（1）求

Question

已知x轴上有一列点P₁，P₂ P₃，…，P_n，…，当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1 P_n+1 作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的长度分别 为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）求a_n关于n的解析式；
（2 ）证明：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3
（3）设点P（n，a_n） {n≥3），在这些点中是否存在两个点同时在函数y=(k)/((x−1)2)(k＞0) 的图象上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，∴a₂=1，同理a₃=(1)/(2)，(an)/(an−1)=(1)/(n−1)
∴a_n=(1)/(n−1)a_n-1=(1)/(n−1)•(1)/(n−2)•a_n-2=…=(1)/((n−1)!)
（2）证明：∵n≥2时，(1)/((n−1)!)=(1)/(1×2×…×n)≤(1)/(2n−2)
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1+(1)/(2)+…(1)/(2n−2)=3-(1)/(2n−2)＜3
而n=1时，结论成立，故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假设有两个点A（p，a_p），B（q，a_q），都在函数y=(k)/((x−1)2)上，
即a_p=(k)/((p−1)2)，a_q=(k)/((q−1)2)
所以((p−1)2)/((p−1)!)=k，((q−1)2)/((q−1)!)=k，消去k得((p−1)2)/((p−1)!)=((q−1)2)/((q−1)!) ①，
设b_n=(n2)/(n!)，考查数列{b_n}的增减情况，
∵b_n-b_n-1=(n2)/(n!)-((n−1)2)/((n−1)!)=-(n2−3n+1)/((n−1)!)，
∴当n＞2时，n²-3n+1＞0，所以对于数列{b_n}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，
∴不存在两个点同时在函数y=(k)/((x−1)2)(k＞0) 的图象上．