|324|设A=|202|,求正交矩阵P,是（P的-1次方）AP=（P的T此方）AP为对角矩阵|423|

Question

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设A= |2 0 2|,求正交矩阵P,是（P的-1次方）AP=（P的T此方）AP为对角矩阵
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Answer 1

根据特征方程|λE-A|=0 （E为单位矩阵）,解得矩阵A的特征值分别为：
λ1=8,λ2=λ3=-1（二重特征值）
对于λ1=8,由(8E-A)x=0,得到基础解系：α1=(22,-9,14)^T （^T为转置）
将α1规范化：ε1=(1/√761)(22,-9,14)^T
对于λ2=λ3=-1,由(-E-A)x=0,得到基础解系：α2=(1,-2,0)^T, α3=(0,-2,1)^T
施密特正交化得：β2=α2=(1,-2,0)^T
β3=α3-(＜β2,α3＞/＜β2,β2＞)*β2 （＜β2,α3＞为内积）
=(-4/5,-2/5,1)^T
规范化得：ε2=(1/√5)(1,-2,0)^T ,ε3=(1√45)*(-4,-2,1)^T
令P=（ε1,ε2,ε3),则 P(逆)AP=(P^T)AP=(对角矩阵)
其中 P= 22/√761 1/√5 -4√45
-9/√761 -2/√5 -2√45
14/√761 0 1√45
结论有点恶心- -!,解题步骤是这样的,楼主可以验证下.