（2011•浙江）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-y24=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（）A．a2=132B．a2=3

Question

（2011•浙江）已知椭圆C₁：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-(y2)/(4)=1有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（　　）

A．a²=(13)/(2)
B．a²=3
C．^_b2=(1)/(2)
D．^_b2=2

Answer 1

由题意，C₂的焦点为（±√(5)，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a
∴C₁的半焦距c=√(5)，于是得a²-b²=5   ①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程得：x2＝(a2b2)/(b2+4a2)②，
由对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2√(5)x，
由题得：2√(5)x=(2a)/(3)，所以x＝(a)/(3√(5))    ③
由②③得a²=11b²  ④
由①④得a²=5.5，b²=0.5  
故选C