在二项式定理这节教材中有这样一个性质：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n，n∈N（1）计算1•C30+2•C31+3•C32+4•C33的值方法如下：设S=1•C30+2•C31+3•C32+4•C33又S=4•C33+3•C32+2•C31+1•C30相加得2S=5•C30+5

Question

在二项式定理这节教材中有这样一个性质：C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³+…C_nⁿ=2ⁿ，n∈N
（1）计算1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³的值方法如下：
设S=1•C₃⁰+2•C₃¹+3•C₃²+4•C₃³又S=4•C₃³+3•C₃²+2•C₃¹+1•C₃⁰
相加得2S=5•C₃⁰+5•C₃¹+5•C₃²+5•C₃³即2S=5•2³
所以2S=5•2²=20利用类似方法求值：1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²，1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴
（2）将（1）的情况推广到一般的结论，并给予证明
（3）设S_n是首项为a₁，公比为q的等比数列{a_n}的前n项的和，求S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+S₄C_n³+…+S_n+1C_nⁿ，n∈N．

Answer 1

（1）设S=1•C₂⁰+2•C₂¹+3•C₂²又S=3•C₂²+2•C₂¹+1•C₂⁰
相加2S=4（C₂⁰+C₂¹+C₂²）=16，S=8
设S=1•C₄⁰+2•C₄¹+3•C₄²+4•C₄³+5•C₄⁴
又S=5•C₄⁴+4•C₄³+3•C₄²+2•C₄¹+1•C₄⁰
相加2S=6（C₃⁰+C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴），∴S=3•2⁴=48
（2）1•C_n⁰+2•C_n¹+3•C_n²+…+（n+1）C_nⁿ=（n+2）•2^n-1
设S=1•C_n⁰+2•C_n¹+3•C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
又S=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1+…+1•C_n⁰
相加2S=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）∴S＝(n+2)/(n)•2n＝(n+2)•2n−1
（3）当q=1时  S_n=na₁S₁C_n⁰+S₂C_n¹+…+S_n+1C_nⁿ
=a₁C_n⁰+2a₁C_n¹+…+（n+1）a₁C_nⁿ
=a₁（1•C_n⁰+2•C_n¹+…+（n+1）C_nⁿ）
=a₁•（n+2）•2^n-1
当q≠1时    Sn＝(a1(1−qn))/(1−q)＝(a1)/(1−q)−(a1)/(1−q)qn
S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+…+S_n+1C_nⁿ=((a1)/(1−q)−(a1)/(1−q)q)

C

0 n

+((a1)/(1−q)−(a1)/(1−q)q2)

C

1 n

+…+((a1)/(1−q)−(a1)/(1−q)qn+1)

C

n n

=(a1)/(1−q)(

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

)−(a1)/(1−q)(q

C

0 n

+q2

C

1 n

+…+qn+1

C

n n

)
=(a1)/(1−q)•2n−(a1)/(1−q)•q(

C

0 n

•q0+

C

1 n

•q1+…+

C

n n

qn)
=(a1)/(1−q)•2n−(a1)/(1−q)•q(1+q)n＝(a1•2n)/(1−q)−(a1q(1+q)n)/(1−q)
综上，q=1时  S₁C_n⁰+…+S_n+1C_nⁿ=a₁（n+2）•2^n-1q≠1时S1

C

0 n

+…+Sn+1

C

n n

＝(a1•2n)/(1−q)−(a1q(1+q)n)/(1−q)