凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤f（x1+x2+…xnn）

Question

凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ，有 (f(x1 )+f(x2 )+…+f(xn ))/(n) ≤f（ (x1 +x2 +…xn)/(n) ），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为______

Answer 1

∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，
且A、B、C∈（0，π），
∴ (f(A)+f(B)+f(C))/(3) ≤f（ (A+B+C)/(3) ）=f（ (π)/(3) ），
即sinA+sinB+sinC≤3sin (π)/(3) = (33)/(2) ，
所以sinA+sinB+sinC的最大值为 (33)/(2) ．