已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{an}是常数列（各项都相等的数列），且b1=12时，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设{an}、{bn}都是公差不为

Question

已知各项均为正数的两个无穷数列{a_n}、{b_n}满足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）当数列{a_n}是常数列（各项都相等的数列），且b₁=(1)/(2)时，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{a_n}、{b_n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a_n}有无穷多个，而数列{b_n}惟一确定；
（Ⅲ）设a_n+1=(2an2+an)/(an+1)(n∈N*)，S_n=

2n

i＝1

bi，求证：2＜(Sn)/(n2)＜6．

Answer 1

（I）设a_n=a＞0，∵数列{a_n}、{b_n}满足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*），
∴b_n+1+b_n=2n，（n∈N^*），于是当n≥2时，b_n+b_n-1=2（n-1）．
∴b_n+1-b_n-1=2．
∴可知：数列{b_n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，
又b1＝(1)/(2)，b₁+b₂=2，可得b2＝(3)/(2)．
∴b2n−1＝(1)/(2)+(n−1)•2=(2n−1)−(1)/(2)，b2n＝(3)/(2)+(n−1)•2=2n−(1)/(2)，
即bn＝n−(1)/(2)（n∈N^*）．
（2）证明：设{a_n}、{b_n}公差分别为d₁、d₂，
则a_n=a₁+（n-1）d，b_n=b₁+（n-1）d₂，
代入a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．
可得[a₁+（n-1）d₁][b₁+nd₂]+（a₁+nd₁）[b₁+（n-1）d₂]=2n（a₁+nd₁），对于任意n恒成立，
可得

2d1d2＝2d1

2b1d1+2a1d2−2a1d2＝2a1

2a1b1−b1d1−a1d2＝0

，解得

作业帮用户 2017-10-24

问题解析

（I）设a_n=a＞0，利用数列{a_n}、{b_n}满足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*），可得b_n+1+b_n=2n，（n∈N^*），于是当n≥2时，b_n+b_n-1=2（n-1）．于是b_n+1-b_n-1=2．可知：数列{b_n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）设{a_n}、{b_n}公差分别为d₁、d₂，可得其通项公式，代入a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．可得[a₁+（n-1）d₁][b₁+nd₂]+（a₁+nd₁）[b₁+（n-1）d₂]=2n（a₁+nd₁），对于任意n恒成立，可得

2d1d2＝2d1

2b1d1+2a1d2−2a1d2＝2a1

2a1b1−b1d1−a1d2＝0

，解出即可；
（III）利用an+1＝(2a2n+an)/(an+1)，可得a_n+1-a_n=(2a2n+an)/(an+1)-a_n=(a2n)/(an+1)＞0，于是a_n＜a_n+1．利用a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1＜a_n+1b_n+1+a_n+1b_n，可得2n＜b_n+1+b_n．又a_nb_n+1=（2n-b_n）•a_n+1＞0，a_n+1＞0，可得2n-b_n＞0．可得Sn∈(2n2，4n2+2n)，进而得出．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评：

熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．

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