在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n,（1）求证：数列an/2^n是等差数列；（2）设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s（n+1）-4an=1

Question

在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n,
（1）求证：数列an/2^n是等差数列；
（2）设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s（n+1）-4an=1

Answer 1

题目写漏个2吧=_+【a(n＋1)＝2an＋2^n】
证明：
⑴
∵a(n＋1)＝2an＋(2^n)
∴a(n＋1)－2an＝2^n
∴[a(n＋1)－2an]/[2^(n＋1)]＝[a(n＋1)/2^(n＋1)]－[an/(2^n)]＝(2^n)/[2^(n＋1)]＝1/2
∴数列{an/2^n}是以首项为a1/2＝1/2,公差为1/2的等差数列
⑵
由⑴知：
an/(2^n)＝1/2＋(n－1)×1/2＝1/2n
∴an＝(1/2n)×(2^n)＝n•2^(n－1)
∴Sn＝1•(2^0)＋2•(2^1)＋3•(2^2)＋……＋(n－1)•2^(n－2)＋n•2^(n－1)
则2Sn＝ 1•(2^1)＋2•(2^2)＋3•(2^3)＋………………＋(n－1)•2^(n－1)＋n•(2^n)
两式相减,得：
Sn＝n•(2^n)－(1＋2＋2^2＋……＋2^(n－1))＝n•(2^n)－[ [1(1－(2^n)]/(1－2) ]＝n•(2^n)－(2^n)＋1＝(2^n)(n－1)＋1
∴S(n＋1)－4an＝[2^(n＋1)]•n＋1－[n•2^(n＋1)]＝1.