设无穷数列{an}的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和是Cn,有Sn+Cn=n证明：数列{1-Sn}是等比数列并求：{an}通项公式.

Question

设无穷数列{an}的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和是Cn,有Sn+Cn=n
证明：数列{1-Sn}是等比数列 并求：{an}通项公式.

Answer 1

Sn+Cn=n
a1=s1=c1
a1+a1=1
a1=1/2
Sn+Cn=n (1)
Sn-1+Cn-1=n-1 (2)
(1)- (2)
an+sn=1 (3)
an-1+sn-1=1 (4)
(3)- (4)
2an=an-1
an/an-1=1/2 等比公比1/2
an=a1*q^(n-1)=1/2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
由(3) an+sn=1 1-sn=an
故数列{1-Sn}是等比数列