用级数收敛的必要条件证明当n→∝时,1/nn是比1/n!的高阶无穷小其中1/nn是1/n的n次1/n!是n阶层分之一

Question

用级数收敛的必要条件证明当n→∝时,1/nn是比1/n!的高阶无穷小
其中1/nn是1/n的n次 1/n!是n阶层分之一

Answer 1

只需证明：n!/ n^n ---> 0
方法一：
根据斯特灵公式,ln(n!) 约等于 n*ln(n) - n ===>
ln(n!) - ln(n^n) = -n ===>
ln( n!/ n^n ) = -n ===>
n!/ n^n = e^(-n)
显然趋于 0 .
方法二：
第 n+1 项 / 第 n 项 = [(n+1)!/ (n+1)^(n+1)] / [n!/ n^n] =
[ (n+1)!* n^n ] / [ n!* (n+1)^(n+1) ] =
(n+1) * n^n / (n+1)^(n+1) =
n^n / (n+1)^n =
[n/(n+1)]^n < 1
所以,n!/ n^n ---> 0