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已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),z1,z2∈C,定义:D(z)=ⅡzⅡ=|a|+|b|,D(z1,z2)=Ⅱz1-z2Ⅱ.给出下列命题:(1)对任意z∈C,都有D(z)>0;(2)若.z是复数z的共轭复数,则D(.z)=D(z
题目详情
已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),z1,z2∈C,定义:D(z)=ⅡzⅡ=|a|+|b|,D(z1,z2)=Ⅱz1-z2Ⅱ.给出下列命题:
(1)对任意z∈C,都有D(z)>0;
(2)若
是复数z的共轭复数,则D(
)=D(z)恒成立;
(3)若D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C),则z1=z2;
(4)(理科)对任意z1,z2,z3∈C,结论D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立.
其中真命题是___.
(1)对任意z∈C,都有D(z)>0;
(2)若
. |
z |
. |
z |
(3)若D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C),则z1=z2;
(4)(理科)对任意z1,z2,z3∈C,结论D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立.
其中真命题是___.
▼优质解答
答案和解析
(1)取z=0,则D(z)=|0|+|0|=0,因此不是真命题;
(2)若
是复数z的共轭复数,则D(
)=D(z)=|a|+|b|恒成立,是真命题;
(3)取z1=1+3i,z2=3+i,满足D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C),但是z1≠z2,因此是假命题;
(4)(理科)对任意zk=ak+bki∈C,(ak,bk∈R,k=1,2,3),
则D(z1,z3)=|a1-a3+(b1-b3)i|=|a1-a3|+|b1-b3|,
D(z1,z2)+D(z2,z3)=|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|.
∵|a1-a3|+|b1-b3|=|(a1-a2)+(a2-a3)|+|(b1-b2)+(b2-b3)|≤|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|.
∴D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立,是真命题.
其中真命题是(2)(4).
故答案为:(2)(4).
(2)若
. |
z |
. |
z |
(3)取z1=1+3i,z2=3+i,满足D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C),但是z1≠z2,因此是假命题;
(4)(理科)对任意zk=ak+bki∈C,(ak,bk∈R,k=1,2,3),
则D(z1,z3)=|a1-a3+(b1-b3)i|=|a1-a3|+|b1-b3|,
D(z1,z2)+D(z2,z3)=|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|.
∵|a1-a3|+|b1-b3|=|(a1-a2)+(a2-a3)|+|(b1-b2)+(b2-b3)|≤|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|.
∴D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立,是真命题.
其中真命题是(2)(4).
故答案为:(2)(4).
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