追加75怎么证明(3+√(368/27))^(1/3)-(-3+√(368/27))^(1/3)=1?p.s.这是从三次方程x^3+5x+6的求根公式弄出来的.368/27=9+125/27随便找个缺二次项三次方程,要凑个整系数,用求根公式一求,会发现两边都开

Question

【追加75】怎么证明(3+√(368/27))^(1/3)-(-3+√(368/27))^(1/3)=1?
p.s.这是从三次方程x^3+5x+6的求根公式弄出来的.
368/27=9+125/27
随便找个缺二次项三次方程,要凑个整系数,用求根公式一求,会发现两边都开不尽,但一相减都能得到整数.

Answer 1

首先你应该清楚(3+√(368/27))^(1/3)-(-3+√(368/27))^(1/3)是方程x^3+5x+6=0的一个实根的相反数,而这个方程恰巧只有一个实根-1（目测可得）,所以(3+√(368/27))^(1/3)-(-3+√(368/27))^(1/3)=1
"随便找个缺二次项三次方程,要凑个整系数,用求根公式一求,会发现两边都开不尽,但一相减都能得到整数."这句话是不对的
举个例子x^3+5x+7=0,它唯一的实根=-1.1194...就不是整数
相应的(7/2+(√(1823/27))/4)^(1/3)-(-7/2+(√(1823/27))/2)^(1/3)=1.1194...也不是整数
至于(3+√(368/27))^(1/3)-(-3+√(368/27))^(1/3)=1
那是因为(3+√(368/27))^(1/3)=1/2+根号里(23/12),(-3+√(368/27))^(1/3)=-1/2+根号里(23/12),只是你看不出而已
应该只是你三次方程凑得比较好罢了
像这种式子其实有很多,对二次方根的就有√(4+2根号3)-√(4-2根号3）=2