证明有理系数方程ax^2+bx+c=0,若有一根为m+根号n;则另一根为m-根号n

Question

证明有理系数方程ax^2+bx+c=0,若有一根为m+根号n ;则另一根为m-根号n

Answer 1

若a=0,则x=-c/b必定为有理数
所以若有一根为m+根号n,则a≠0
直接用求根公式,得x=(-b±(b^2-4ac)^0.5)/(2a)=-b/(2a)±(b^2-4ac)^0.5/(2a)
=-b/(2a)±((b^2-4ac)/(4a^2))^0.5
若有一根为m+根号n m+根号n对应-b/(2a)+((b^2-4ac)/(4a^2))^0.5
则m=-b/2a,n=(b^2-4ac)/(4a^2)
另一根就是-b/(2a)-((b^2-4ac)/(4a^2))^0.5
所以另一根为m-根号n